Question

15．設f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，函數g（x）與f（x）的圖象關于y軸對稱，且當x∈（0，1]時，g（x）=lnx-ax²．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若對于區間（0，1]上任意的x，都有|f（x）|≥1成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，函數g（x）與f（x）的圖象關于y軸對稱，分別得到x∈（0，1]時，x=0，x∈[-1，0）時d的解析式；
（2）由（1）知f（x）在（0，1]的導數，討論a，分別求f（x）的最小值，結合|f（x）|≥1成立，得到a的范圍．

解答 解：（1）∵g（x）的圖象與f（x）的圖象關于y軸對稱，
∴f（x）的圖象上任意一點P（x，y）關于y軸對稱的對稱點Q（-x，y）在g（x）的圖象上．
當x∈[-1，0）時，-x∈（0，1]，則f（x）=g（-x）=ln（-x）-ax²．
∵f（x）為[-1，1]上的奇函數，則f（0）=0．
當x∈（0，1]時，-x∈[-1，0），f（x）=-f（-x）=-lnx+ax²．
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln（-x）-a{x}^{2}，-1≤x＜0}\\{0，x=0}\\{-lnx+a{x}^{2}，0＜x≤1}\end{array}\right.$．
（2），由（1）知，當x∈（0，1]時f'（x）=-$\frac{1}{x}$+2ax．
①若f'（x）≤0在（0，1]恒成立，則$-\frac{1}{x}+2ax≤$0，得到a$≤\frac{1}{2{x}^{2}}$，所以a$≤\frac{1}{2}$．
f（x）在（0，1]上單調遞減，f（x）_min=f（1）=a，
∴f（x）的值域為[a，+∞）與|f（x）|≥1矛盾．
②當a＞$\frac{1}{2}$時，令f'（x）=$-\frac{1}{x}$+2ax=0得到x=$\sqrt{\frac{1}{2a}}$∈（0，1]，
∴當x∈（0，$\sqrt{\frac{1}{2a}}$）時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減，
當x∈（$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，1]時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增，
∴f（x）_min=f（$\sqrt{\frac{1}{2a}}$）=-ln$\sqrt{\frac{1}{2a}}$+a（$\sqrt{\frac{1}{2a}}$）²=$\frac{1}{2}$ln（2a）+$\frac{1}{2}$．
由|f（x）|≥1，得$\frac{1}{2}$ln（2a）+$\frac{1}{2}$≥1得到a$≥\frac{e}{2}$．
綜上所述，實數a的取值范圍為a$≥\frac{e}{2}$．

點評 不同考查了函數解析式的求法以及恒成立問題的解答；關鍵是正確討論a的取值，求f（x）的最小值，進而求a的范圍．