Question

已知函數f（x）=

1

x

+alnx（a不是0）
（Ⅰ）若a=1，求函數f（x）的極值和單調區間；
（Ⅱ） 若在區間[1，e]上至少存在一點x₀，使得f（x₀）＜0成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）通過a=1，求出函數的導數，利用導數為0求出極值點，判斷導函數的符號即可求解函數單調區間；
（Ⅱ） 求出函數的導數，求解極值點，轉化在區間[1，e]上至少存在一點x₀，使得f（x₀）＜0成立，為求解函數的最值問題，利用a的取值范圍的討論，求解函數的最值，即可求得實數a的取值范圍．

解答： 解：（I）因為f′(x)=-

1

x2

+

a

x

=

ax-1

x2

，…（2分）
當a=1，f′(x)=

x-1

x2

，令f'（x）=0，得 x=1，又f（x）的定義域為（0，+∞），f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

所以x=1時，f（x）的極小值為1．…（4分）f（x）的單調遞增區間為（1，+∞），單調遞減區間為（0，1）；    …（5分）
（II）因為f′(x)=-

1

x2

+

a

x

=

ax-1

x2

，且a≠0，令f'（x）=0，得到x=

1

a

，
若在（0，e]上存在一點x₀，使得f（x₀）＜0成立，其充要條件是f（x）在區間（0，e]上的最小值小于0即可．（1）當x=

1

a

＜0，即a＜0時，f'（x）＜0對x∈（0，+∞）成立，所以f（x）在區間（0，e]上單調遞減，
故f（x）在區間（0，e]上的最小值為f(e)=

1

e

+alne=

1

e

+a，
由

1

e

+a＜0，得a＜-

1

e

，即a∈(-∞，-

1

e

)…（8分）
（2）當x=

1

a

＞0，即a＞0時，
①若e≤

1

a

，則f'（x）≤0對x∈（0，e]成立，所以f（x）在區間（0，e]上單調遞減，
所以，f（x）在區間（0，e]上的最小值為f(e)=

1

e

+alne=

1

e

+a＞0，
顯然，f（x）在區間（0，e]上的最小值小于0不成立    …（10分）
②若0＜

1

a

＜e，即a＞

1

e

時，則有

x	(0， 1 a )	1 a	( 1 a ，e)
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

所以f（x）在區間（0，e]上的最小值為f(

1

a

)=a+aln

1

a

，
由f(

1

a

)=a+aln

1

a

=a(1-lna)＜0，
得 1-lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）．
綜上，由（1）（2）可知：a∈(-∞，-

1

e

)∪(e，+∞)符合題意．…（12分）

點評：本題考查函數的導數的應用，考查分類討論思想的應用，同時考查轉化思想的應用．