Question

已知函數f（x）=-3x+27，數列{b_n}滿足b_n=f（n），試判斷數列{b_n}是否為等差數列，并求{b_n}的前n項和S_n的最大值．

Answer 1

考點：等差數列的前n項和,數列的函數特性

專題：等差數列與等比數列

分析：取任意n≥11，b_n+1-b_n=f（n+1）-f（n）=-3（n+1）+27-[-3n+27]=-3，由此得﹛bn﹜是首項為24，公差為-3的等差數列，從而S_n=

n

2

(b1+bn)=

n

2

(24+27-3n)=

n(51-3n)

2

，進而能求出S_n的最大項是S₈=S₉=108．

解答： 解：取任意n≥11，b_n+1-b_n=f（n+1）-f（n）=-3（n+1）+27-[-3n+27]=-3
b₁=f（1）=24，bn=f（n）=-3n+27
根據等差數列定義，﹛bn﹜是首項為24，公差為-3的等差數列．
S_n=

n

2

(b1+bn)=

n

2

(24+27-3n)=

n(51-3n)

2

可以看做是一個一元二次函數，
函數開口向下，對稱軸是n=

17

2

，
∵n是正整數，∴取離n最近的正整數8和9，得S₈=S₉=108．
則S_n的最大項是S₈=S₉=108．

點評：本題考查等差數列的判斷，考查{b_n}的前n項和S_n的最大值的求法，是中檔題，解題時要注意等差數列的性質的合理運用．