Question

18．已知函數f（x）=$\frac{p{x}^{2}+2}{q-3x}$是奇函數，且f（2）=-$\frac{5}{3}$
（1）求函數f（x）的解析式
（2）判斷函數f（x）在（0，1）上的單調性，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數的性質可得：f（-x）+f（x）=0，與f（2）=-$\frac{5}{3}$聯立解出p，q即可得出．
（2）函數f（x）在R上單調遞增．下面給出證明分析：?0＜x₁＜x₂＜1，只要證明f（x₁）-f（x₂）＜0即可．

解答 解：（1）∵函數f（x）=$\frac{p{x}^{2}+2}{q-3x}$是奇函數，3x≠q．
∴f（-x）+f（x）=$\frac{p{x}^{2}+2}{q+3x}$+$\frac{p{x}^{2}+2}{q-3x}$=0，化為：q（px²+2）=0，對于定義域內的任意實數x都成立，則q=0．
又f（2）=-$\frac{5}{3}$，∴$\frac{4p+2}{-6}$=-$\frac{5}{3}$，解得p=2．
∴f（x）=$\frac{2{x}^{2}+2}{-3x}$=$-\frac{2}{3}$$（x+\frac{1}{x}）$，（x≠0）．
（2）函數f（x）在（0，1）上的單調遞增．
證明：?0＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=$-\frac{2}{3}$$（{x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}）$+$\frac{2}{3}$$（{x}_{2}+\frac{1}{{x}_{2}}）$=$\frac{2}{3}$×$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{1}{x}_{2}-1）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵?0＜x₁＜x₂＜1，∴x₂-x₁＞0，0＜x₁x₂＜1，
∴$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{1}{x}_{2}-1）}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函數f（x）在（0，1）上的單調遞增．

點評 本題考查了函數的奇偶性與單調性的判定義定及其判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．