Question

8．已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，f（1）=1，且若?a、b∈[-1，1]，a+b≠0，恒有$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}$＞0，
（1）證明：函數f（x）在[-1，1]上是增函數；
（2）若對?x∈[-1，1]及?a∈[-1，1]，不等式f（x）≤m²-2am+1恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，利用函數的單調性和奇偶性求得f（x₁）-f（x₂）＜0，可得f（x）是[-1，1]上的增函數．
（2）由題意可得f（x）_max≤m²-2am+1，即m²-2am≥0對任意的a∈[-1，1]恒成立，再根據$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）=2m{+m}^{2}≥0}\\{g（1）=-2m{+m}^{2}≥0}\end{array}\right.$，解得m的范圍．

解答 解：（1）證明：任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂），
∵$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}$＞0，∴$\frac{f{（x}_{1}）+f（{-x}_{2}）}{{x}_{1}+（{-x}_{2}）}$＞0，∵x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）＜0．則f（x）是[-1，1]上的增函數．
（2）要使f（x）≤m²-2am+1對所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
只須f（x）_max≤m²-2am+1，即1≤m²-2am+1對任意的a∈[-1，1]恒成立，
亦即m²-2am≥0對任意的a∈[-1，1]恒成立．
令g（a）=-2ma+m²，則只須$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）=2m{+m}^{2}≥0}\\{g（1）=-2m{+m}^{2}≥0}\end{array}\right.$，解得m≤-2或m≥2或m=0．

點評 本題主要考查函數的單調性和奇偶性的綜合應用，函數的恒成立問題，屬于中檔題．