Question

3．某市在以對學生的綜合素質評價中，將其測評結果分為“優秀、合格、不合格”三個等級，其中不小于80分為“優秀”，小于60分為“不合格”，其它為“合格”．
（1）某校高一年級有男生500人，女生4000人，為了解性別對該綜合素質評價結果的影響，采用分層抽樣的方法從高一學生中抽取了45名學生的綜合素質評價結果，其各個等級的頻數統計如表：

等級	優秀	合格	不合格
男生（人）	15	x	5
女生（人）	15	3	y

根據表中統計的數據填寫下面2×2列聯表，并判斷是否有90%的把握認為“綜合素質評介測評結果為優秀與性別有關”？

	男生	女生	總計
優秀	15	15	30
非優秀	10	5	15
總計	25	20	45

（2）以（1）中抽取的45名學生的綜合素質評價等級的頻率作為全市各個評價等級發生的概率，且每名學生是否“優秀”相互獨立，現從該市高一學生中隨機抽取3人．
（i）求所選3人中恰有2人綜合素質評價為“優秀”的概率；
（ii）記X表示這3人中綜合素質評價等級為“優秀”的個數，求X的數學期望．
參考公式：K²=$\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．
臨界值表：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

Answer 1

分析 （1）先求出從高一年級男生中抽出人數及x，y，作出2×2列聯表，求出K²=1.125＜2.706，從而得到沒有90%的把握認為“綜合素質評價測評結果為優秀與性別有關”．
（2）（i）由（1）知等級為“優秀”的學生的頻率為$\frac{2}{3}$，從該市高一學生中隨機抽取一名學生，該生為“優秀”的概率為$\frac{2}{3}$．由此能求出所選3名學生中恰有2人綜合素質評價為‘優秀’學生的概率．
（ii）X表示這3個人中綜合速度評價等級為“優秀”的個數，由題意，隨機變量X～B（3，$\frac{2}{3}$），由此能求出X的數學期望．

解答 解：（1）設從高一年級男生中抽出m人，則$\frac{m}{500}=\frac{45}{500+400}，m=25$．
∴x=25-20=5，y=20-18=2

	男生	女生	總計
優秀	15	15	30
非優秀	10	5	15
總計	25	20	45

而$k=\frac{{45×{{（15×5-10×15）}^2}}}{30×15×25×20}=\frac{9}{8}=1.125＜2.706$
∴沒有90%的把握認為“測評結果為優秀與性別有關”．
（2）（i）由（1）知等級為“優秀”的學生的頻率為$\frac{15+15}{45}=\frac{2}{3}$，
∴從該市高一學生中隨機抽取1名學生，該生為“優秀”的概率為$\frac{2}{3}$．
記“所選3名學和g中恰有2人綜合素質評價‘優秀’學生”為事件A，則事件A發生的概率為：$P（A）=C_3^2×{（\frac{2}{3}）^2}×（1-\frac{2}{3}）=\frac{4}{9}$；
（ii）由題意知，隨機變量X～B（3，$\frac{2}{3}$），
∴隨機變量X的數學期望$E（X）=3×\frac{2}{3}=2$．

點評 本題考查抽樣方法、獨立性檢驗、獨立重復試驗的概率，考查二項分布及其期望，考查學生讀取統計表，利用統計量進行決策的能力和意識，是中檔題．