Question

12．已知函數f（x）=x（lnx+1）（x＞0）．
（I）求函數f（x）的最小值；
（2）設F（x）=ax²+f（x）（a∈R），討論函數F（x）的單調性．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，得到函數的單調區間，求出函數的最小值即可；
（2）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可．

解答 解：（1）f′（x）=lnx+2，（x＞0），
令f′（x）=0，得：x=$\frac{1}{{e}^{2}}$，
∴x∈（0，$\frac{1}{{e}^{2}}$）時，f′（x）＜0，
x∈（$\frac{1}{{e}^{2}}$，+∞）時，f′（x）＞0，
∴∴$當x=\frac{1}{e2}時，f（x）min=\frac{1}{e2}（1n\frac{1}{e2}+1）=-\frac{1}{e2}$…（6分）
（2）$F（x）=ax2+1nx+2（x＞0），f′（x）=2ax+\frac{1}{x}=\frac{2ax2+1}{x}（x＞0）$…（7分）
①2a≥0時，恒有f′（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函數；…（9分）
②當a＜0時，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$…（11分）
綜上，當a≥0時，F（x）在（0，+∞）上是增函數；
當a?0時，F（x）在$（0，\sqrt{-\frac{1}{2a}}）$上單調遞增，在$（\sqrt{-\frac{1}{2a}}，+∞）$上單調遞減…（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．