Question

3．在鈍角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足b²+c²-a²=bc，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$＞0，a=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，則b+c的取值范圍是（　　）

• A． $（1，\frac{3}{2}）$
• B． $（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}）$
• C． $（\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$
• D． $（\frac{1}{2}，\frac{3}{2}]$

Answer 1

分析 根據b²+c²-a²=bc，代入到余弦定理中求得cosA的值，進而求得A，再確定b=2RsinB=sinB，c=2RsinC=sinC，結合B的范圍，代入利用輔助角公式，即可得出結論．

解答 解：∵b²+c²-a²=bc，a=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，由余弦定理可得cosA=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
因為C是三角形內角，∴A=60°，sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=AB•BC•cos（π-B）=-AB•BC•cosB＞0，∴cosB＜0，∴B為鈍角，B是鈍角．
由正弦定理可得b=$\frac{a}{sinA}$•sinB=sinB，同理c=sinC．
三角形ABC中，A=$\frac{π}{3}$，∴C+B=$\frac{2π}{3}$．
b+c=sinB+sinC=sinB+sin（ $\frac{2π}{3}$-B）=$\frac{3}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵$\frac{π}{2}$＜B＜$\frac{2π}{3}$，∴$\frac{2π}{3}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，∴sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），∴$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴b+c的取值范圍為：（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

點評 本題主要考查了余弦定理的應用，考查三角函數的性質，考查計算能力，注意余弦定理的變形式的應用是關鍵，屬于中檔題．