Question

13．給出下列命題：
①橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1與$\frac{{x}^{2}}{9-k}$+$\frac{{y}^{2}}{25-k}$=1（0＜k＜9）有相等的焦距；
②“直線與雙曲線相切”是“直線與雙曲線只有一個公共點”的充分不必要條件；
③已知P是曲線$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=4sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數，0≤θ≤π）上一點，坐標原點為O，直線PO的傾斜角為$\frac{π}{4}$，則P點坐標是（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，2$\sqrt{2}$）；
④直線y=mx+1-m與橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的位置關系隨著m的變化而變化；
⑤雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點為F₁，F₂，若雙曲線上存在一點P，滿足|PF₁|=3|PF₂|，則雙曲線離心率的取值范圍（1，2]．
其中正確命題的所有序號有①②⑤．

Answer 1

分析 對5個命題分別進行判斷，即可得出結論．

解答 解：①橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1與$\frac{{x}^{2}}{9-k}$+$\frac{{y}^{2}}{25-k}$=1（0＜k＜9）有相等的焦距8，正確；
②“直線與雙曲線相切”是“直線與雙曲線只有一個公共點”的充分不必要條件，正確；
③已知P是曲線$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=4sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數，0≤θ≤π）上一點，坐標原點為O，直線PO的傾斜角為$\frac{π}{4}$，不是參數的取值，故不正確；
④直線y=mx+1-m過定點（1，1）在橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的內部，故直線y=mx+1-m與橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的位置關系是相交，不正確；
⑤設P點的橫坐標為x
∵|PF₁|=3|PF₂|，P在雙曲線右支（x≥a）
根據雙曲線的第二定義，可得3e（x-$\frac{{a}^{2}}{c}$）=e（x+$\frac{{a}^{2}}{c}$）
∴ex=2a
∵x≥a，∴ex≥ea
∴2a≥ea，∴e≤2
∵e＞1，∴1＜e≤2，即雙曲線離心率的取值范圍（1，2]，正確．
所以正確命題的所有序號有①②⑤．
故答案為①②⑤．

點評 本題考查曲線與方程，考查圓錐曲線，考查學生分析解決問題的能力，綜合性強．