Question

8．若定義在[-2015，2016]上的函數f（x）滿足：對于任意x₁，x₂∈[-2015，2015]有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2014且x＞0時，有f（x）＞2014，f（x）的最大值、最小值分別為M，N則M+N=（　　）

• A． 2013
• B． 2014
• C． 4026
• D． 4028

Answer 1

分析 根據抽象函數的表達式，令x₁=x₂=0，可求得f（0）=2014；再利用單調性的定義證明函數f（x）在R上為單調遞增函數，f（x₁）+f（-x₁）=4028，從而可求M+N．

解答 解：∵對于任意的x₁，x₂∈[-2015，2015]，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2014，
∴令x₁=x₂=0，得f（0）=2014，
再令x₁+x₂=0，將f（0）=2014代入可得f（x）+f（-x）=4028．
設x₁＜x₂，x₁，x₂∈[-2015，2015]，
則x₂-x₁＞0，f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x_1^）+f（x₁）-2014-f（x₁）=f（x₂-x₁-2014＞0，
 即函數f（x）是遞增的，
∴f（x）_max=f（2015），f（x）_min=f（-2015）．
又∵f（2015）+f（-2015）=4028，
∴M+N的值為4028．
故選：D．

點評 本題主要考查函數值的計算，利用賦值法，證明函數的單調性是解決本題的關鍵，綜合性較強，有一定的難度．