Question

12．當x∈[2，3]時，x²+ax+a+1＜0恒成立，則a的范圍是（-∞，-$\frac{5}{2}$）．

Answer 1

分析 法一：利用函數的零點，通過f（2），f（3）均小于0，求解即可．
法二：當x∈[2，3]時，x²+ax+a+1＜0恒成立，則a＜$\frac{{-x}^{2}-1}{x+1}$在x∈[2，3]時恒成立，構造函數，利用導數法，求出函數的最大值，可得答案．

解答 解：法一：當x∈[2，3]時，x²+ax+a+1＜0恒成立，由二次函數y=x²+ax+a+1的性質，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{f（2）＜0}\\{f（3）＜0}\end{array}\right.$，即：$\left\{\begin{array}{l}{4+2a+a+1＜0}\\{9+3a+a+1＜0}\end{array}\right.$，解得a＜$-\frac{5}{2}$．
故實數a的取值范圍是：（-∞，$-\frac{5}{2}$）；
故答案為：（-∞，$\frac{5}{2}$）；
法二：當x∈[2，3]時，x²+ax+a+1＜0恒成立，
則則a＜$\frac{{-x}^{2}-1}{x+1}$在x∈[2，3]時恒成立，
令y=-$\frac{{x}^{2}+1}{x+1}$
則y′=-$\frac{2x（x+1）-{x}^{2}-1}{（{x+1）}^{2}}$=$\frac{-{x}^{2}-2x+1}{（x+1）^{2}}$＜0在x∈[2，3]時恒成立，
故y=-$\frac{{x}^{2}+1}{x+1}$
在x∈[2，3]時為減函數，
當x=3時，函數取最小值$-\frac{5}{2}$，
故a＜$-\frac{5}{2}$，
故實數a的取值范圍是：（-∞，$-\frac{5}{2}$）；
故答案為：（-∞，-$\frac{5}{2}$）；

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了恒成立問題，函數的值域與最值，難度中檔．