Question

16．若函數f（x）=x²+2（a-1）x+2在[-4，4]上是單調函數，那么實數a的取值范圍是a≤-3或a≥5．

Answer 1

分析 由已知中函數的解析式f（x）=x²+2（a-1）x+2，根據二次函數的圖象和性質，判斷出函數f（x）在區間（-∞，-a+1]上是減函數，在區間[-a+1，+∞）上是增函數，再由函數在區間[-4，4]上為單調函數，可得區間在對稱軸的同一側，進而構造關于a的不等式，解不等式即可得到實數a的取值范圍．

解答 解：∵函數f（x）=x²+2（a-1）x+2的圖象是開口方向朝上，
且以x=-a+1為對稱軸的拋物線，
∴函數f（x）=x²+2（a-1）x+2在區間（-∞，-a+1]上是減函數，在區間[-a+1，+∞）上是增函數，
∵函數f（x）=x²+2（a-1）x+2在區間[-4，4]上是單調函數，
∴-a+1≤-4，或-a+1≥4，
解得a≥5或a≤-3．
故答案為：a≤-3或a≥5．

點評 本題考查的知識點是二次函數的性質，其中根據函數f（x）在區間[-4，4]上為單調函數，判斷出區間在對稱軸的同一側，進而構造關于a的不等式是解答本題的關鍵，屬于基礎題．