Question

6．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程x±$\sqrt{3}$y=0，則C₁與C₂的離心率之積為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 利用雙曲線的漸近線推出a、b關系式，然后求解橢圓以及雙曲線的離心率，即可得到結果．

解答 解：雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程x±$\sqrt{3}$y=0，
可得：$\frac{a}{b}=\sqrt{3}$，即$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{3}$雙曲線的離心率為：e=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
橢圓中$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{3}$，可得橢圓的離心率為：e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
則C₁與C₂的離心率之積：$\frac{2\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故答案為：$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質以及雙曲線的簡單性質的應用，考查計算能力．