Question

15．如圖，沿等腰直角三角形ABC的中位線DE，將平面ADE折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，并得到四棱錐A-BCDE．
（Ⅰ）求證：平面ABC⊥平面ACD；
（Ⅱ）M是棱CD的中點，過M的與平面ABC平行的平面α，設平面α截四棱錐A-BCDE所得截面面積為S₁，三角形ABC的面積為S₂，試求S₁：S₂的值．

Answer 1

分析 （1）AD⊥DE，平面ADE⊥平面BCDE，根據兩個平面垂直的性質定理得AD⊥平面BCDE，所以AD⊥BC，又CD⊥BC，根據線面垂直的判定定理BC⊥平面ACD，BC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ACD
（2）由于平面α∥平面ABC，故平面ACD與平面α的交線MQ∥AC，M是CD的中點，故Q是AD的中點；同理平面BCDE與平面α的交線MN∥BC，N為BE的中點；平面ABE的交線NP∥AB，P為AE的中點，連接PQ即為平面α與平面ADE的交線，故平面α與四棱錐A-BCDE各個面的交線所圍成多邊形就是四邊形MNPQ，進一步觀察可知四邊形MNPQ是直角梯形，進而由比例關系可以求得截面面積與△ABC的面積之比．

解答 解：（1）∵AD⊥DE，平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE=DE，
∴AD⊥平面BCDE，
∴AD⊥BC，
又∵CD⊥BC，AD∩CD=D，
∴BC⊥平面ACD，
又∵BC?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ACD
（2）∵平面α∥平面ABC，設平面ACD與平面α的交線為MQ，
∴MQ∥AC，
又∵M是CD的中點，
∴Q是AD的中點；
同理：設平面BCDE與平面α的交線為MN，
∴MN∥BC，
又∵M是CD的中點，
∴N為BE的中點；
同理：平面ABE的交線NP∥AB，P為AE的中點，
連接PQ即為平面α與平面ADE的交線，故平面α與四棱錐A-BCDE各個面的交線所圍成多邊形是圖中的四邊形MNPQ，
由于PQ∥DE，DE∥MN，故PQ∥MN，根據（1）BC⊥AC，由MN∥BC，MQ∥AC，故MQ⊥MN，即四邊形MNPQ′是直角梯形．
設CM=a，則MQ=$\sqrt{2}$a，MN=3a，PQ=a，BC=4a，AC=2$\sqrt{2}$a，
故四邊形MNPQ的面積是$\frac{a+3a}{2}×\sqrt{2}a$=$2\sqrt{2}{a}^{2}$，三角形ABC的面積是$\frac{1}{2}×4a×2\sqrt{2}a$=4$\sqrt{2}$a²，
故平面α與四棱錐A-BCDE各個面的交線所圍成多邊形的面積與三角形ABC的面積之比為1：2．

點評 本小題主要考查空間線面關系、多邊形的面積計算等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．