Question

15．如圖，在四棱錐P-ABCD中，△PAD為正三角形，四邊形ABCD為直角梯形，CD∥AB，BC⊥AB，平面PAD⊥平面ABCD，點E、F分別為AD、CP的中點，AD=AB=2CD=2．
（Ⅰ）證明：直線EF∥平面PAB；
（Ⅱ）求直線EF與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BC中點M，連結EM，FM，推導出EM∥平面PAB，FM∥平面PAB，從而平面EFM∥平面PAB，由此能證明EF∥平面PAB．
（Ⅱ）連結PE、PM，推導出PE⊥BC，EM⊥BC，從而BC⊥平面PEM，進而平面PBC⊥平面PEM，過點E作EH⊥PM于點H，連結FH，則EH⊥平面PBC，直線EF與平面PBC所成角為∠EFH，由此能求出直線EF與平面PBC所成角的正弦值．

解答 證明：（Ⅰ）取BC中點M，連結EM，FM，
∵點E、F分別為AD、CP的中點，∴EM∥AB，FM∥PB，
∵EM?平面PAB，AB?平面PAB，∴EM∥平面PAB，
∵FM?平面PAB，PB?平面PAB，∴FM∥平面PAB，
∵EM∩FM=M，EM、FM?平面PEM，
∵平面EFM∥平面PAB，
∵EF?平面PEM，∴EF∥平面PAB．
解：（Ⅱ）連結PE、PM，
∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，PE⊥BC，
∵EM⊥BC，∴BC⊥平面PEM，
∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEM，
過點E作EH⊥PM于點H，連結FH，
由平面PBC⊥平面PEM，得EH⊥平面PBC，
∴直線EF與平面PBC所成角為∠EFH，
在直角三角形PEC中，EF=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
在直角三角形PEM中，EH=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$，
∴sin$∠EFH=\frac{EH}{EF}$=$\frac{\frac{3\sqrt{7}}{7}}{\frac{\sqrt{6}}{2}}$=$\frac{\sqrt{42}}{7}$．
∴直線EF與平面PBC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{42}}{7}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題．