Question

7．已知函數f（x）=$\sqrt{3}$cos2x-2cos²（x+$\frac{π}{4}$）+1．
（Ⅰ）求f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）求f（x）在區間[0，$\frac{π}{2}$]上的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化函數f（x）為正弦型函數，
根據正弦函數的單調性求出f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）求出x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，sin（2x+$\frac{π}{3}$）的取值范圍，
即可求出f（x）的最大、最小值．

解答 解：（Ⅰ）函數f（x）=$\sqrt{3}$cos2x-2cos²（x+$\frac{π}{4}$）+1
=$\sqrt{3}$cos2x-cos（2x+$\frac{π}{2}$）
=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）；
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
∴f（x）的單調遞增區間為[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]（k∈Z）；
（Ⅱ）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴f（x）在區間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值為2，最小值為-$\sqrt{3}$；
且x=$\frac{π}{12}$時f（x）取得最大值2，x=$\frac{π}{2}$時f（x）取得最小值-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了三角函數的恒等變換與三角函數的圖象和性質的應用問題，是中檔題．