Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sin（ωx+φ），2），$\overrightarrow{b}$=（1，cos（ωx+φ）），（ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{4}$），函數f（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）的圖象過點M（1，$\frac{7}{2}$），且相鄰兩對稱軸之間的距離為2．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）求f（x）在[-$\frac{2}{3}$，2]上的最大值，并求出此時x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據平面向量數量積公式并化簡三角函數式，得到解析式；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的解析式得到角度范圍，利用正弦函數的有界性求最大值．

解答 解：（Ⅰ）因為f（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow{b}}^{2}$=sin²（ωx+φ）-cos²（ωx+φ）+3
=3-cos（2ωx+2φ），由相鄰兩對稱軸之間的距離為2．得到周期為4，所以ω=$\frac{π}{4}$，又過（1，$\frac{7}{2}$），
得到sin2φ=$\frac{1}{2}$，因為0＜φ＜$\frac{π}{4}$，所以2φ=$\frac{π}{6}$；
所以f（x）=3-cos（$\frac{π}{2}x+\frac{π}{6}$）；
（Ⅱ）因為x∈[-$\frac{2}{3}$，2]，所以$\frac{π}{2}x+\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{7}{6}π$]，
所以當$\frac{π}{2}x+\frac{π}{6}=π$時即x=$\frac{5}{3}$時函數取得最大值為3-（-1）=4．

點評 本題考查了平面向量的數量積的坐標運算以及三角函數的解析式化簡、三角函數的性質；屬于中檔題．