Question

16．已知a，b∈R，且e^x+1≥ax+b對?x∈R恒成立（其中e為自然對數的底數），則ab的最大值為（　　）

• A． $\frac{1}{2}{e^3}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}{e^3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}{e^3}$
• D． e³

Answer 1

分析 當a=0時，此時ab=0； 當a＞0時，由題結合（1）得ab≤2a²-a²lna，設（a）=2a²-a²lna（a＞0），問題轉化為求g（a）的最大值，利用導函數即可

解答 解：設f（x）=e^x+1-ax
當a=0時，此時ab=0； 
當a＞0時，e^x+1≥ax+b對?x∈R恒成立，得b≤f_min（x），
∵f_min（x）=f（-1+lna）=2a-alna，
∴b≤2a-alna，
∴ab≤2a²-a²lna，
設g（a）=2a²-a²lna（a＞0），
∴g′（a）=4a-（2alna+a）=3a-2alna，
由于a＞0，令g′（a）=0，得lna=$\frac{3}{2}$，從而a=${e}^{\frac{3}{2}}$，
當a∈（0，${e}^{\frac{3}{2}}$）時，g′（a）＞0，g（a）單調遞增；
當a∈（${e}^{\frac{3}{2}}$，+∞）時，g′（a）＜0，g（a）單調遞減．
∴g_max（a）=$\frac{{e}^{3}}{2}$，即a=${e}^{\frac{3}{2}}$，b=$\frac{1}{2}$${e}^{\frac{3}{2}}$時，ab的最大值為$\frac{{e}^{3}}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查函數的單調性及最值，利用導函數來研究函數的單調性是解題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．