Question

6．在數列{a_n}中，a₁=1，a_n+1-a_n=2n+1，則數列的通項a_n=n²．

Answer 1

分析 在數列遞推式中依次取n=1，2，…，n-1，累加后利用等差數列的求和公式得答案．

解答 解：由a_n+1-a_n=2n+1，得
a₂-a₁=2×1+1，
a₃-a₂=2×2+1，
a₄-a₃=2×3+1，
…
a_n-a_n-1=2（n-1）+1（n≥2）．
累加得：a_n-a₁=2（1+2+…+n-1）+n-1=2×$\frac{n（n-1）}{2}$+n-1=n²-1，
a_n=n²．
又a₁=1，
驗證n=1時上式成立．
∴a_n=n²．．
故答案為：n²．

點評 本題考查了數列遞推式，考查了累加法求數列的通項公式，是中檔題．