Question

11．設函數f（x）=e^-x（x²-ax+a），a≥0．．
（I ）討論f（x）的單調性；
（II） （ i ）若a=0，證明：當x＞6 時，f（x）＜$\frac{1}{x}$
（ii）若方程f（x）=a有3個不同的實數解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；
（Ⅱ）（i）a=0時，問題等價于x＞3lnx，設g（x）=x-3lnx，根據函數的單調性證明即可；
（ii）通過討論a的范圍，得到關于a的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=-e^-x[x²-（a+2）x+2a]=-e^-x（x-2）（x-a）．…（1分）
（1）若a=2，則f′（x）≤0，f（x）在（-∞，+∞）單調遞減．…（2分）
（2）若0≤a＜2，當x變化時，f′（x）、f（x）的變化如下表：

x	（-∞，a）	a	（a，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極小值ae-a	↗	極大值（4-a）e-2	↘

此時f（x）在（-∞，a）和（2，+∞）單調遞減，在（a，2）單調遞增．…（3分）
（3）若a＞2，當x變化時，f′（x）、f（x）的變化如下表：

x	（-∞，2）	2	（2，a）	a	（a，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極小值（4-a）e-2	↗	極大值ae-a	↘

此時f（x）在（-∞，2）和（a，+∞）單調遞減，在（2，a）單調遞增．…（4分）
（Ⅱ）（ⅰ）若a=0，則f（x）=x²e^-x，f（x）＜$\frac{1}{x}$即x³＜e^x．
當x＞6時，所證不等式等價于x＞3lnx，
設g（x）=x-3lnx，當x＞6時，g′（x）=1-$\frac{3}{x}$＞0，g（x）單調遞增，
有g（x）＞g（6）=3（2-ln6）＞0，即x＞3lnx．
故當x＞6時，f（x）＜$\frac{1}{x}$．…（6分）
（ⅱ）根據（Ⅰ），
（1）若a=2，方程f（x）=a不可能有3個不同的實數解．…（7分）
（2）若0≤a＜2，令$\left\{\begin{array}{l}0≤a＜2\\ ae-a＜a，（4-a）e-2＞a\end{array}$解得0＜a＜$\frac{4}{{e}^{2}+1}$．…（8分）
當x＞6時，f（x）=e^-x（x²-ax+a）=e^-x[x²-a（x-1）]＜x²e^-x＜$\frac{1}{x}$，
則當x＞6且x＞$\frac{1}{a}$時，f（x）＜a．
又f（0）=a，所以當0＜a＜$\frac{4}{{e}^{2}+1}$時，方程f（x）=a有3個不同的實數解．（10分）
（3）若a＞2時，由于f（a）=ae^-a＜a，方程f（x）=a不可能有3個不同的實數解．
…（11分）
綜上，a的取值范圍是（0，$\frac{4}{{e}^{2}+1}$）．…（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題．