Question

7．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，a²-c²=b²-$\frac{8bc}{5}$，a=6，sinB=$\frac{4}{5}$．
（Ⅰ）求角A的正弦值；
（Ⅱ）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用余弦定理可求cosA，進而利用同角三角函數基本關系式可求sinA的值．
（Ⅱ）由已知利用正弦定理可求b的值，代入已知可求c的值，利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）a²-c²=b²-$\frac{8bc}{5}$，①可得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{4}{5}$，…．（3分）
所以sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{3}{5}$．…..（6分）
（Ⅱ）因為：asinB=bsinA，a=6，sinA=$\frac{3}{5}$，sinB=$\frac{4}{5}$，
所以：解得b=8，…..（8分）
因為：a=6，b=8，代入①，可得：c=10或$\frac{14}{5}$，…..（10分）
所以：S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=24或$\frac{168}{25}$．…..（12分）

點評 本題主要考查了余弦定理，同角三角函數基本關系式，正弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．