Question

18．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$，g（x）=f²（x）-af（x）+2a有四個不同的零點x₁，x₂，x₃，x₄，則[2-f（x₁）]•[2-f（x₂）]•[2-f（x₃）]•[2-f（x₄）]的值為16．

Answer 1

分析 令t=f（x），由g（x）=f²（x）-af（x）+2a有四個不同的零點x₁，x₂，x₃，x₄，則t²-at+2a=0有兩個根t₁，t₂，且t₁+t₂=a，t₁t₂=2a，且f（x₁），f（x₂），f（x₃），f（x₄）恰兩兩相等，為t²-at+2a=0的兩根，進而得到答案．

解答 解：∵令t=f（x），則y=g（x）=f²（x）-af（x）+2a=t²-at+2a，
∵g（x）=f²（x）-af（x）+2a有四個不同的零點x₁，x₂，x₃，x₄，
故t²-at+2a=0有兩個根t₁，t₂，且t₁+t₂=a，t₁t₂=2a，
且f（x₁），f（x₂），f（x₃），f（x₄）恰兩兩相等，為t²-at+2a=0的兩根，
不妨令f（x₁）=f（x₂）=t₁，f（x₃）=f（x₄）=t₂，
則[2-f（x₁）]•[2-f（x₂）]•[2-f（x₃）]•[2-f（x₄）]
=（2-t₁）•（2-t₁）•（2-t₂）•（2-t₂）
=[（2-t₁）•（2-t₂）]²=[4-2（t₁+t₂）+t₁t₂]²=16．
故答案為：16

點評 本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，韋達定理的應用，難度中檔．