Question

12．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=AA₁=4，點D是A₁C₁的中點，則異面直線AD和BC₁所成角的大小為30°．

Answer 1

分析 可作出圖形，取AC中點E，并連接C₁E，BE，從而有C₁E∥AD，從而得到∠EC₁B或其補角便為異面直線AD和BC₁所成角，根據(jù)條件可以求出△BC₁E的三邊長度，從而可以得到∠BEC₁=90°，然后求sin∠BC₁E，這樣即可得出異面直線AD和BC₁所成角的大小．

解答 解：如圖，取AC中點E，連接C₁E，BE，則C₁E∥AD；

∴∠EC₁B或其補角為異面直線AD和BC₁所成角；
根據(jù)條件得：BE=2$\sqrt{2}$，C₁E=2$\sqrt{6}$，BC₁=4$\sqrt{2}$；
∴BE²+C₁E²=BC₁²；
∴∠BEC₁=90°；
∴sin∠EC₁B=$\frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$；
∴∠EC₁B=30°；
∴異面直線AD和BC₁所成角的大小為30°．
故答案為：30°

點評 考查異面直線所成角的概念及求法，直角三角形邊的關系，正弦函數(shù)的定義，以及已知三角函數(shù)值求角．