Question

16．已知$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{3}$，cos$\frac{x}{3}$），$\overrightarrow{n}$=（cos$\frac{x}{3}$，cos$\frac{x}{3}$），f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期和對稱中心；
（Ⅱ）若a，b，c分別是△ABC內角A，B，C所對的邊，且a=2，（2a-b）cosC=ccosB，f（A）=$\frac{3}{2}$，求c．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用平面向量數量積的運算可得f（x）=sin（$\frac{2x}{3}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，利用周期公式可求最小正周期，令$\frac{2x}{3}$+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，即可解得f（x）的對稱中心．
（Ⅱ）由兩角和的正弦函數公式，三角形內角和定理化簡已知等等可得2sinAcosC=sinA，結合sinA＞0，可求cosC=$\frac{1}{2}$，可得C的值，又f（A）=sin（$\frac{2A}{3}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，進而解得A的值，利用正弦定理可求c的值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{3}$cos$\frac{x}{3}$+cos²$\frac{x}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{2x}{3}$+$\frac{cos\frac{2x}{3}+1}{2}$=sin（$\frac{2x}{3}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{\frac{2}{3}}$=3π，
∴令$\frac{2x}{3}$+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，解得：x=-$\frac{π}{4}$+$\frac{3}{2}$kπ，k∈Z，
∴f（x）的對稱中心為：（x=-$\frac{π}{4}$+$\frac{3}{2}$kπ，$\frac{1}{2}$）k∈Z．
（Ⅱ）∵a=2，（2a-b）cosC=ccosB，
∴2sinAcosC=sinCcosB+sinBcosC=sinA，
∵sinA＞0，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，可得C=$\frac{π}{3}$，
又∵f（A）=sin（$\frac{2A}{3}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴sin（$\frac{2A}{3}$+$\frac{π}{6}$）=1，
∴A=$\frac{π}{2}$，
∵a=2，
∴c=$\frac{a•sinC}{sinA}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了平面向量數量積的運算，周期公式，兩角和的正弦函數公式，三角形內角和定理，正弦定理以及正弦函數的圖象和性質的綜合應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．