Question

1．若存在x∈（-1，1]，使得不等式e^2x-ax＜a成立，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． $（{-∞，\frac{2}{e}}）$
• B． （$\frac{2}{e}$，+∞）
• C． $（{-∞，\frac{1}{e}}）$
• D． （$\frac{1}{e}$，+∞）

Answer 1

分析 分類參數得a＞$\frac{{e}^{2x}}{x+1}$，求出f（x）=$\frac{{e}^{2x}}{x+1}$在（-1，1]上的最小值即可得出a的范圍．

解答 解：∵e^2x-ax＜a在（-1，1]上有解，∴a＞$\frac{{e}^{2x}}{x+1}$在（-1，1]上有解，
令f（x）=$\frac{{e}^{2x}}{x+1}$，x∈（-1，1]，則a＞f_min（x）．
則f′（x）=$\frac{{e}^{2x}（2x+1）}{（x+1）^{2}}$，
∴當x∈（-1，-$\frac{1}{2}$）時，f′（x）＜0，當x∈（-$\frac{1}{2}$，1]時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-1，-$\frac{1}{2}$]上單調遞減，在（-$\frac{1}{2}$，1]上單調遞增，
∴當x=-$\frac{1}{2}$時，f（x）取得最小值f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{e}$．
∴a＞$\frac{2}{e}$．
故選B．

點評 本題考查了函數的存在性問題與函數最值的計算，導數與函數單調性判斷，屬于中檔題．