Question

3．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+1，}&{x＜1}\\{{2}^{x}-2，}&{x≥1}\end{array}\right.$，g（x）=$\frac{1}{x}$，若對任意x∈[m，+∞）（m＞0），總存在兩個x₀∈[0，2]，使得f（x₀）=g（x），則實數m的取值范圍是（　�。�

• A． [1，+∞）
• B． （0，1]
• C． [$\frac{1}{2}$，+∞）
• D． （0，$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 由分段函數解析式可得函數f（x）在區間[0，2]上滿足一個函數值對應兩個自變量的函數值的集合A，求出函數g（x）在[m，+∞）（m＞0）上的值域B，由B是A的子集求解．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+1，}&{x＜1}\\{{2}^{x}-2，}&{x≥1}\end{array}\right.$，
當x∈[0，1）時，f（x）∈[1，0），當x∈[1，2]時，f（x）∈[0，2]．
∴一個函數值對應兩個自變量的函數值的范圍為（0，1]．
g（x）=$\frac{1}{x}$在[m，+∞）（m＞0）上為減函數，最大值為$\frac{1}{m}$．
∴g（x）的值域為[0，$\frac{1}{m}$]．
要使對任意x∈[m，+∞）（m＞0），總存在兩個x₀∈[0，2]，使得f（x₀）=g（x），
則$\frac{1}{m}≤1$，即m≥1．
∴實數m的取值范圍是[1，+∞）．
故選：A．

點評 本題考查分段函數的應用，關鍵是對題意的理解，是中檔題．