Question

12．某工程設備租賃公司為了調查A，B兩種挖掘機的出租情況，現隨機抽取了這兩種挖掘機各100臺，分別統計了每臺挖掘機在一個星期內的出租天數，統計數據如下表：
A型車挖掘機

出租天數	1	2	3	4	5	6	7
車輛數	5	10	30	35	15	3	2

B型車挖掘機

出租天數	1	2	3	4	5	6	7
車輛數	14	20	20	16	15	10	5

（Ⅰ）根據這個星期的統計數據，將頻率視為概率，求該公司一臺A型挖掘機，一臺B型挖掘機一周內合計出租天數恰好為4天的概率；
（Ⅱ）如果A，B兩種挖掘機每臺每天出租獲得的利潤相同，該公司需要從A，B兩種挖掘機中購買一臺，請你根據所學的統計知識，給出建議應該購買哪一種類型，并說明你的理由．

Answer 1

分析 （I）設“事件A_i表示一臺A型挖掘機在一周內出租天數恰好為i天”，“事件B_j表示一臺B型挖掘機在一周內出租天數恰好為j天”，其i，j=1，2，…，7．則該公司一臺A型挖掘機，一臺B型挖掘機一周內合計出租天數恰好為4天的概率為P（A₁B₃+A₂B₂+A₃B₁）=P（A₁B₃）+P（A₂B₂）+P（A₃B₁）=P（A₁）P（B₃）+P（A₂）P（B₂）+P（A₃）P（B₁），代入概率計算即可得出．
（II）利用頻率可得概率，分別得出X，Y的分布列，即可得出數學期望．

解答 解：（I）設“事件A_i表示一臺A型挖掘機在一周內出租天數恰好為i天”，
“事件B_j表示一臺B型挖掘機在一周內出租天數恰好為j天”，其i，j=1，2，…，7．則該公司一臺A型挖掘機，一臺B型挖掘機一周內合計出租天數恰好為4天的概率為P（A₁B₃+A₂B₂+A₃B₁）=P（A₁B₃）+P（A₂B₂）+P（A₃B₁）=P（A₁）P（B₃）+P（A₂）P（B₂）+P（A₃）P（B₁）=$\frac{5}{100}×\frac{20}{100}$+$\frac{10}{100}×\frac{20}{100}$+$\frac{30}{100}×\frac{14}{100}$=$\frac{9}{125}$．
所以該公司一臺A型車，一臺B型車一周內合計出租天數恰好為4天的概率為$\frac{9}{125}$．
（Ⅱ）設X為A型挖掘機出租的天數，則X的分布列為

X	1	2	3	4	5	6	7
P	0.05	0.10	0.30	0.35	0.15	0.03	0.02

…（6分）
設Y為B型挖掘機出租的天數，則Y的分布列為

Y	1	2	3	4	5	6	7
P	0.14	0.20	0.20	0.16	0.15	0.10	0.05

…（8分）
EX=1×0.05+2×0.10+3×0.30+4×0.35+5×0.15+6×0.03+7×0.02=3.62．
EY=1×0.14+2×0.20+3×0.20+4×0.16+5×0.15+6×0.10+7×0.05=3.48．
一臺A類型的挖掘機一個星期出租天數的平均值為3.62天，一臺輛B類型的挖掘機一個星期出租天數的平均值為3.48天，選擇A類型的挖掘機更加合理．（12分）

點評 本題考查了頻率與概率的關系、隨機變量的分布列與數學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．