Question

8．等差數列{a_n}中，|a₃|=|a₉|，公差d＜0，則使前n項和S_n取得最大值的正整數n的值是5或6，使前n項和S_n＞0的正整數n的最大值是10．

Answer 1

分析 由題意，公差d＜0，等差數列{a_n}是遞減數列，|a₃|=|a₉|，即a₃=-a₉，可得a₃+a₉=0，即可前n項和S_n取得最大值的正整數n的值和前n項和S_n＞0的正整數n的值．

解答 解：由題意，公差d＜0，等差數列{a_n}是遞減數列，|a₃|=|a₉|，即a₃=-a₉，可得a₃+a₉=0，
∵a₃+a₉=2a₆，
∴a₆=0，
∴等差數列{a_n}的前5項是正項，第6項為0．
則前n項和S_n取得最大值的正整數n的值為：5或6．
又∵${S}_{11}=\frac{（{a}_{1}+{a}_{11}）11}{2}=\frac{11（{a}_{3}+{a}_{9}）}{2}$=0，
∴使前n項和S_n＞0的正整數n的最大值是：10．

點評 本題考查了等差數列的性質，考查了等差數列的前n項和的應用，是基礎題．