Question

18．設f（x）是定義在R上的偶函數，對任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），且當x∈[-2，0]時，$f（x）={（\frac{1}{2}）^x}-1$，若在區間（-2，6]內關于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有三個不同的實數根，則a的取值范圍為（　　）

• A． （1，2）
• B． （2，+∞）
• C． （1，$\root{3}{4}$）
• D． （$\root{3}{4}$，2）

Answer 1

分析 利用f（x）的奇偶性和周期性，作出f（x）的函數圖象，根據交點個數列不等式組，即可得出a的范圍．

解答 解：∵f（x）=f（x+4），∴f（x）周期為4，
利用f（x）的奇偶性和周期性作出f（x）的函數圖象如下：

∵關于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）在區間（-2，6]內恰有三個不同的實數根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}4＜3}\\{lo{g}_{a}8＞3}\\{a＞1}\end{array}\right.$，解得$\root{3}{4}$＜a＜2．
故選D．

點評 本題考查了方程根與函數圖象的關系，對數的運算性質，屬于中檔題．