Question

19．若直線2ax-by+2=0（a，b∈R）始終平分圓x²+y²+2x-4y+1=0的周長，則ab的最大值是$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 化圓的方程為標準式，求出圓心坐標，由題意可得直線過圓心，得到a+b=1，然后利用基本不等式求最值．

解答 解：化x²+y²+2x-4y+1=0為（x+1）²+（y-2）²=4．
∴圓心坐標為（-1，2），
∵直線2ax-by+2=0（a，b∈R）始終平分圓x²+y²+2x-4y+1=0的周長，
∴直線2ax-by+2=0過圓心，則-2a-2b+2=0，即a+b=1．
∴當a，b大于0時，且a=b，ab有最大值為$（\frac{a+b}{2}）^{2}=（\frac{1}{2}）^{2}=\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查直線與圓位置關系的應用，訓練了利用基本不等式求最值，是基礎題．