Question

13．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦點為F₁，F₂，若點P在橢圓上，且滿足|PO|²=|PF₁|•|PF₂|（其中O為坐標原點），則稱點P為“*”點，則橢圓上的“*”點有4個．

Answer 1

分析 設出橢圓上的點P（x₀，y₀），利用焦半徑公式，表示出|PO|²=|PF₁|•|PF₂|，求出點的坐標，得出結論．

解答 解：設橢圓上的點P（x₀，y₀），則$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}=1$，y₀²=b²（1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$），
橢圓的第二定義可知：|PF₁|=a-ex₀，|PF₂|=a+ex₀，
因為|PO|²=|PF₁|•|PF₂|，則x₀²+y₀²=a²-e²x₀²，
則有x₀²+b²（1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$）=x₀²+y₀²，解得x₀=±$\frac{\sqrt{2}a}{2}$，
因此滿足條件的有四個點，
故答案為：4．

點評 本題考查了橢圓的新定義問題，解題時應利用焦半徑列出方程，求出點的坐標，是基礎題．