Question

5．已知函數f（x）=x³-3x及曲線y=f（x）上一點P（1，-2），
（I） 求與y=f（x）相切且以P為切點的直線方程；
（Ⅱ）求過點P并與y=f（x）相切且切點異于P點的直線方程．

Answer 1

分析 （I） 求出f（x）的導數，可得P處切線的斜率，可得切線方程；
（Ⅱ）設切點為（m，n）（異于P點），代入f（x）可得n=m³-3m，求得切線的斜率和方程，代入（1，-2），可得m的方程，解得m，即可得到所求切線的方程．

解答 解：（I） 函數f（x）=x³-3x的導數為f′（x）=3x²-3，
點P（1，-2）處的切線斜率為3-3=0，
則與y=f（x）相切且以P為切點的直線方程為y=-2；
（Ⅱ）設切點為（m，n）（異于P點），
且n=m³-3m，
可得切線的斜率為3m²-3，
切線的方程為y-n=（3m²-3）（x-m），
點P（1，-2）代入上式，可得
-2-m³+3m=（3m²-3）（1-m），
整理可得2m³-3m²+1=0，
即為（m-1）²（2m+1）=0，
解得m=-$\frac{1}{2}$（1舍去），
可得切線的斜率為-$\frac{9}{4}$，
則所求切線的方程為y+2=-$\frac{9}{4}$（x-1），
即為9x+4y-1=0．

點評 本題考查導數的運用：求切線的方程，注意在某點處和過某點的切線，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．