Question

10．設函數f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$-x．
（1）當a=-2時，求f（x）的極值；
（2）當a=1時，證明：f（x）-$\frac{1}{e^x}$+x＞0在（0，+∞）上恒成立．

Answer 1

分析 （1）利用導數求出原函數的單調性，即可求出f（x）的極值；
（2）證明f（x）-$\frac{1}{e^x}$+x＞0在（0，+∞）上恒成立，即證$xlnx+1＞\frac{x}{e^x}$，實際是比較左邊函數的最小值與右邊函數的最大值，利用導數求出左邊函數的最小值與右邊函數的最大值；

解答 解：（1）當a=-2時，$f（x）=lnx-\frac{2}{x}-x，f'（x）=\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}-1=-\frac{{（{x-2}）（{x+1}）}}{x^2}$，
∴當x∈（0，2）時，f'（x）＞0；當x∈（2，+∞）時，f'（x）＜0．
∴f（x）在（0，2）上單調遞增，在（2，+∞）上單調遞減；
∴f（x）在x=2處取得極大值f（2）=ln2-3，f（x）無極小值；
（2）當a=1時，$f（x）-\frac{1}{e^x}+x=lnx+\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x}$，
下面證$lnx+\frac{1}{x}＞\frac{1}{e^x}$，即證$xlnx+1＞\frac{x}{e^x}$，
設g（x）=xlnx+1，則g'（x）=1+lnx，
在$（{0，\frac{1}{e}}）$上，g'（x）＜0，g（x）是減函數；在$（{\frac{1}{e}，+∞}）$上，g'（x）＞0，g（x）是增函數．
所以$g（x）≥g（{\frac{1}{e}}）=1-\frac{1}{e}$，
設$h（x）=\frac{x}{e^x}$，則$h'（x）=\frac{1-x}{e^x}$，
在（0，1）上，h'（x）＞0，h（x）是增函數；在（1，+∞）上，h'（x）＜0，h（x）是減函數，
所以$h（x）≤h（1）=\frac{1}{e}＜1-\frac{1}{e}$，
所以h（x）＜g（x），即$\frac{x}{e^x}＜xlnx+1$，所以$xlnx+1-\frac{x}{e^x}＞0$，即$lnx+\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x}＞0$，
即$f（x）-\frac{1}{e^x}+x＞0$在（0，+∞）上恒成立．

點評 本題主要考查了導數在函數單調性中的應用、函數的最值以及構造新函數等綜合知識點，屬中等題．