Question

17．設函數f（x）=x²-2x+5，g（x）=mx-$\frac{2}{x}$，若對任意的x₁∈[0，4]，總存在x₂∈[1，4]，使f（x₁）=g（x₂）成立，則實數m的取值范圍是（　　）

• A． [0，6]
• B． [6，7]
• C． [$\frac{27}{8}$，7]
• D． [$\frac{27}{8}$，6]

Answer 1

分析 根據對任意的x₁∈[0，4]，總存在x₂∈[1，4]，使f（x₁）=g（x₂）成立，可得兩個函數值域的包含關系，進而根據關于m的不等式組，解不等式組可得答案．

解答 解：由選項可知，m≥0，
∵f（x）=x²-2x+5=（x-1）²+4．g（x）=mx-$\frac{2}{x}$，．
∴當x₁∈[0，4]時，f（x）∈[4，13]，記A=[4，13]．
當m=0時，g（x）=-$\frac{2}{x}$在[1，4]上為增函數，g（x）∈[-2，$\frac{1}{2}$]，記B=[-2，$\frac{1}{2}$]，不符合A⊆B
當m＞0時，g（x）=mx-$\frac{2}{x}$，
g′（x）=m+$\frac{2}{{x}^{2}}$＞0恒成立，
∴g（x）在[1，4]上為增函數，g（x）∈[m-2，4m-$\frac{1}{2}$]，記B=[m-2，4m-$\frac{1}{2}$]，
由題意，知A⊆B
∴B=$\left\{\begin{array}{l}{4≥m-2}\\{13≤4m-\frac{1}{2}}\\{m＞0}\end{array}\right.$，解得$\frac{27}{8}$≤m≤6，
故選：D

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，存在性問題，是函數圖象和性質的綜合應用，其中存在性問題轉化為值域的包含關系難度較大．