Question

9．已知函數(shù)f（x）=x²-alnx（常數(shù)a＞0），函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，e^a）上有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（2e，+∞）（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

分析 然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，e^a）上的最小值，最后討論最小值的符號(hào)，從而確定函數(shù)f（x）的零點(diǎn)情況．

解答 解：f（x）=x²-alnx，（a＞0，x＞0），
f′（x）=2x-$\frac{a}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-a}{x}$=$\frac{2（x-\frac{\sqrt{2a}}{2}）（x+\frac{\sqrt{2a}}{2}）}{x}$，
因?yàn)楫?dāng)0＜x＜$\frac{\sqrt{2a}}{2}$時(shí)，fˊ（x）＜0，當(dāng)x＞$\frac{\sqrt{2a}}{2}$時(shí)，fˊ（x）＞0．
又$\frac{a}{2}$＜a＜e^a＜e^2a（a≥0，a＜2a）⇒$\frac{\sqrt{2a}}{2}$＜e^a，
所以f（x）在（0，$\frac{\sqrt{2a}}{2}$]上是減函數(shù)，在[$\frac{\sqrt{2a}}{2}$，+∞）是增函數(shù)．
所以f（x）_min=f（$\frac{\sqrt{2a}}{2}$）=$\frac{a}{2}$（1-ln$\frac{a}{2}$），
若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，e^a）上有兩個(gè)零點(diǎn)
則$\frac{a}{2}$（1-ln$\frac{a}{2}$）＜0，即a＞2e時(shí)，e^a＞$\frac{\sqrt{2a}}{2}$＞$\sqrt{e}$，
由于f（1）=1＞0，f（$\frac{\sqrt{2a}}{2}$）=$\frac{a}{2}$（1-ln$\frac{a}{2}$）＜0．
f（e^a）=e^2a-a lne^a=e^2a-a²=（e^a-a）（e^a+a）＞0，
所以，函數(shù)f（x）在（1，e^a）上有兩個(gè)零點(diǎn)，
綜上所述，當(dāng)a＞2e時(shí)，函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，
故答案為：（2e，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，同時(shí)考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想和計(jì)算能力，屬于中檔題．