Question

4．設命題p：函數y=kx+1在R上是增函數，命題q：?x∈R，x²+（2k-3）x+1=0，如果p∧q是假命題，p∨q是真命題，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出p，q為真時的k的范圍，根據p，q一真一假，得到關于k的不等式組，解出即可．

解答 解：∵y=kx+1在R遞增，
∴k＞0，
由?x∈R，x²+（2k-3）x+1=0，得方程x²+（2k-3）x+1=0有根，
∴△=（2k-3）²-4≥0，解得：k≤$\frac{1}{2}$或k≥$\frac{5}{2}$，
∵p∧q是假命題，p∨q是真命題，
∴命題p，q一真一假，
①若p真q假，則$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{\frac{1}{2}＜k＜\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\frac{1}{2}$＜k＜$\frac{5}{2}$；
②若p假q真，則$\left\{\begin{array}{l}{k≤0}\\{k≤\frac{1}{2}或k≥\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴k≤0；
綜上k的范圍是（-∞，0]∪（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$）．

點評 本題考查了復合命題的判斷，考查一次函數以及二次函數的性質，是一道中檔題．