Question

6．在△ABC中，三個內角分別為A，B，C，已知sin（A+$\frac{π}{6}$）=2cosA．
（1）求角A的值；
（2）若B∈（0，$\frac{π}{3}$），且cos（A-B）=$\frac{4}{5}$，求sinB．

Answer 1

分析 （1）由已知利用特殊角的三角函數值及兩角和的正弦函數公式化簡可得sinA=$\sqrt{3}$cosA，結合A∈（0，π），可求tanA=$\sqrt{3}$，進而可求A的值．
（2）由已知及（1）可求A-B=$\frac{π}{3}$-B∈（0，$\frac{π}{3}$），利用同角三角函數基本關系式可求sin（A-B）的值，利用B=A-（A-B），根據兩角差的正弦函數公式即可計算得解．

解答 （本題滿分為10分）
解：（1）因為sin（A+$\frac{π}{6}$）=2cosA，得$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA+$\frac{1}{2}$cosA=2cosA，
即sinA=$\sqrt{3}$cosA，
因為A∈（0，π），且cosA≠0，
所以tanA=$\sqrt{3}$，
所以A=$\frac{π}{3}$．…（4分）
（2）因為B∈（0，π），cos（A-B）=$\frac{4}{5}$，
所以A-B=$\frac{π}{3}$-B∈（0，$\frac{π}{3}$），
因為sin²（A-B）-cos²（A-B）=1，
所以sin（A-B）=$\frac{3}{5}$，…（7分）
所以sinB=sin[A-（A-B）]=sinAcos（A-B）-cosAsin（A-B）=$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$．…（10分）

點評 本題主要考查了特殊角的三角函數值，兩角和與差的正弦函數公式，同角三角函數基本關系式在三角函數化簡求值中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．