Question

15．已知f（x）=x²-kx．
（1）若f（x）在[1，4]上是減函數，求實數k的取值范圍；
（2）用定義證明f（x）在（$\frac{k}{2}$，+∞）上是增函數．

Answer 1

分析 （1）根據二次函數的性質即可求出k的取值范圍．
（2）根據增函數的定義，設x₁，x₂∈（$\frac{k}{2}$，+∞），且x₁＜x₂，通過作差的方法證明f（x₁）＜f（x₂）即可

解答 解：（1）f（x）在[1，4]上是減函數，
∴$\frac{k}{2}$≥4，
解得k≥8，
∴實數k的取值范圍[8，+∞），
（2）證明：設x₁，x₂∈（$\frac{k}{2}$，+∞），且x₁＜x₂，則：
f（x₁）-f（x₂）=x²₁-kx₁-（x²₂-kx₂）
=（x₁+x₂-k）（x₁-x₂），
∵$\frac{k}{2}$＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂-k＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（$\frac{k}{2}$，+∞）上是增函數

點評 本題考查了二次函數的性質，以及根據增函數的定義證明函數為增函數的方法與過程．