Question

13．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，對任意的正整數n，都有S_n=$\frac{3}{2}$a_n+n-3成立．
（1）求證：存在實數λ使得數列{a_n+λ}為等比數列；
（2）求數列{na_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關系與等比數列的定義通項公式即可得出．
（2）利用“錯位相減法”、等差數列與等比數列的求和公式即可得出．

解答 （1）證明：∵S_n=$\frac{3}{2}$a_n+n-3，∴a₁=S₁=$\frac{3}{2}{a}_{1}$+1-3，解得a₁=4．
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3}{2}$a_n+n-3-$（\frac{3}{2}{a}_{n-1}+n-1-3）$，化為a_n=3a_n-1+2，
變形為：a_n+1=3（a_n-1+1），
因此取λ=1，則數列{a_n+1}為等比數列，首項為5，公比為3．
（2）由（1）可得：a_n+1=5×3^n-1，可得a_n=5×3^n-1-1，
∴na_n=5n×3^n-1-n．
數列{na_n}的前n項和T_n=5（1+2×3+3×3²+…+n×3^n-1）-$\frac{n（n+1）}{2}$．
設A_n=1+2×3+3×3²+…+n×3^n-1，
∴3A_n=3+2×3²+…+（n-1）×3^n-1+n×3ⁿ，
-2A_n=1+3+3²+…+3^n-1-n×3ⁿ=$\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$-n×3ⁿ，
∴A_n=$\frac{（2n-1）×{3}^{n}+1}{4}$．
∴T_n=$\frac{5（2n-1）×{3}^{n}+5}{4}$-$\frac{n（n+1）}{2}$．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式與求和公式、“錯位相減法”、遞推公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．