Question

4．觀察等式：$\frac{sin30°+sin90°}{cos30°+cos90°}$=$\sqrt{3}$，$\frac{sin15°+sin75°}{cos15°+cos75°}$=1，$\frac{sin20°+sin40°}{cos20°+cos40°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$照此規律，對于一般的角α，β，有等式$\frac{sinα+sinβ}{cosα+cosβ}$=tan$\frac{α+β}{2}$．

Answer 1

分析 由已知可得：等式左邊的分式是兩個角的正弦和，分母是兩個角的余弦和，等式右邊是兩個角和的半角的正切值．

解答 解：∵$\frac{sin30°+sin90°}{cos30°+cos90°}$=$\sqrt{3}$=tan60°=tan（$\frac{30°+90°}{2}$）
$\frac{sin15°+sin75°}{cos15°+cos75°}$=1=tan45°=tan（$\frac{15°+75°}{2}$），
$\frac{sin20°+sin40°}{cos20°+cos40°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$=tan30°=tan（$\frac{20°+60°}{2}$），
…
∴對于一般的角α，β，有等式$\frac{sinα+sinβ}{cosα+cosβ}$=tan$\frac{α+β}{2}$，
故答案為：$\frac{sinα+sinβ}{cosα+cosβ}$=tan$\frac{α+β}{2}$．

點評 歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．