Question

12．某校從高二年級學生中隨機抽取60名學生，將其期中考試的政治成績（均為整數）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如下頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求分數在[70，80）內的頻率；
（Ⅱ）根據頻率分布直方圖，估計該校高二年級學生期中考試政治成績的平均分；
（Ⅲ）用分層抽樣的方法在80分以上（含80分）的學生中抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任意選取2人，求其中恰有1人的分數．不低于90分的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用頻率分布直方圖的性質能求出分數在[70，80）內的頻率．
（Ⅱ）利用頻率分布直方圖能求出平均分．
（Ⅲ）由題意，[80，90）分數段的人數為15人，[90，100]分數段的人數為3人，[80，90）分數段抽取5人，分別記為A，B，C，D，E；[90，100]分數段抽取1人，記為M．因為從樣本中任取2人，其中恰有1人的分數不低于90分，則另一人的分數一定是在[80，90）分數段，所以只需在分數段[80，90）抽取的5人中確定1人．設“從樣本中任取2人，其中恰有1人的分數不低于90分為”事件A，利用列舉法能求出恰有1人的分數不低于90分的概率．

解答 解：（Ⅰ）分數在[70，80）內的頻率為：
1-（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1-0.7=0.3，
（Ⅱ）平均分為：$\overline{x}$=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71．
（Ⅲ）由題意，[80，90）分數段的人數為：0.25×60=15人
[90，100]分數段的人數為：0.05×60=3人．
∵用分層抽樣的方法在80分以上（含80分）的學生中抽取一個容量為6的樣本，
∴[80，90）分數段抽取5人，分別記為A，B，C，D，E；
[90，100]分數段抽取1人，記為M．因為從樣本中任取2人，其中恰有1人的分數不低于90分，
則另一人的分數一定是在[80，90）分數段，所以只需在分數段[80，90）抽取的5人中確定1人．
設“從樣本中任取2人，其中恰有1人的分數不低于90分為”事件A，
則基本事件空間包含的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），
（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E），（A，M），（B，M），（C，M），（D，M），
（E，M）共15種．
事件A包含的基本事件有（A，M），（B，M），（C，M），（D，M），（E，M）5種．
∴恰有1人的分數不低于90分的概率為P（A）=$\frac{5}{15}$=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查頻率分布直方圖的應用，考查概率的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想，是基礎題．