Question

17．已知兩曲線的參數方程分別為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.（0≤θ≤π）$和$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t$為參數）則它們的交點坐標為$（\frac{4}{3}，\frac{1}{3}）$．

Answer 1

分析 曲線的參數方程分別為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.（0≤θ≤π）$化為普通方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．（y≥0）．由$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t$為參數），消去參數化為普通方程．代入橢圓方程即可得出．

解答 解：曲線的參數方程分別為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.（0≤θ≤π）$化為普通方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．（y≥0）．
由$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t$為參數），消去參數化為普通方程：x=1+y．
代入橢圓方程可得：3y²+2y-1=0，y≥0，解得y=$\frac{1}{3}$，x=$\frac{4}{3}$．
則它們的交點坐標為$（\frac{4}{3}，\frac{1}{3}）$．
故答案為：$（\frac{4}{3}，\frac{1}{3}）$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數方程化為普通方程、一元二次方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．