Question

7．已知數列{a_n}滿足：2a_n=a_n-1+a_n+1（n≥2），a₁=1，且a₂+a₄=10，若S_n為數列{a_n}的前n項和，則$\frac{2{S}_{n}+18}{{a}_{n}+3}$的最小值為（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． $\frac{26}{4}$
• D． $\frac{13}{3}$

Answer 1

分析 由數列遞推式：2a_n=a_n-1+a_n+1（n≥2）得到{a_n}為等差數列，由等差數列的求和公式求出其前n項和，代入整理，根據數列的函數特征，求出最小值．

解答 解：數列{a_n}滿足：2a_n=a_n-1+a_n+1（n≥2），
∴{a_n}為等差數列，
∵a₁=1，且a₂+a₄=10，設公差為d，
∴1+d+1+3d=10，
解得d=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
∴s_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，
∴$\frac{2{S}_{n}+18}{{a}_{n}+3}$=$\frac{2{n}^{2}+18}{2n-1+3}$=$\frac{{n}^{2}+9}{n+1}$=$\frac{（n+1）^{2}-2（n+1）+10}{n+1}$=n+1+$\frac{10}{n+1}$-2
設f（x）=x+1+$\frac{10}{x+1}$，
則f′（x）=1-$\frac{10}{（x+1）^{2}}$=$\frac{（x+1）^{2}-10}{（x+1）^{2}}$，
當0＜x＜$\sqrt{10}$-1，f′（x）＜0，函數單調遞減，
當x＞$\sqrt{10}$-1，f′（x）＞0，函數單調遞增，
∴當x=$\sqrt{10}$-1時，函數f（x）取的最小值，
即當n=2時，n+1+$\frac{10}{n+1}$-2的最小值，即為3+$\frac{10}{3}$-2=$\frac{13}{3}$
故$\frac{2{S}_{n}+18}{{a}_{n}+3}$的最小值為$\frac{13}{3}$，
故選：D

點評 本題考查了數列遞推式，關鍵是由遞推式構造出等比數列，考查了對勾函數的圖象和性質，是有一定難度題目．