Question

18．在區域$\left\{\begin{array}{l}{x+y-\sqrt{2}≤0}\\{x-y+\sqrt{2}≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$內任取一點P，求點P落在單位圓x²+y²=1內的概率．

Answer 1

分析 畫出約束條件的可行域，求出面積，然后求解概率即可．

解答 解：區域$\left\{\begin{array}{l}{x+y-\sqrt{2}≤0}\\{x-y+\sqrt{2}≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$為△ABC內部（含邊界）如圖：
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-\sqrt{2}=0}\\{x-y+\sqrt{2}=0}\end{array}\right.$，解得C（0，$\sqrt{2}$），$\left\{\begin{array}{l}{x-y+\sqrt{2}=0}\\{y=0}\end{array}\right.$可得A（-$\sqrt{2}$，0），$\left\{\begin{array}{l}{x+y-\sqrt{2}=0}\\{y=0}\end{array}\right.$解得B（$\sqrt{2}$，0）．
單位圓x²+y²=1，半圓的面積為：$\frac{π}{2}$；三角形的面積為：$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}$=2
點P落在單位圓x²+y²=1內的概率為：P=$\frac{S半圓}{S△ABC}$=$\frac{π}{4}$．

點評 本題考查線性規劃的簡單應用，幾何概型的求法，考查計算能力．