Question

10．（1）已知a、b∈R⁺，且a+b=3，求ab²的最大值．
（2）設函數f（x）=|2x+1|-|x-2|，求不等式f（x）＞2的解集．

Answer 1

分析 （1）化簡得a=3-b，0＜b＜3；從而可得f（b）=ab²=（3-b）b²=-b³+3b，f′（b）=-3b²+3=-3（b+1）（b-1），從而求得；
（2）通過討論x的范圍，去掉絕對值，求出不等式的解集即可．

解答 解：（1）解：∵a，b∈R₊且a+b=3，
∴a=3-b，0＜b＜3；
f（b）=ab²=（3-b）b²=-b³+3b，
f′（b）=-3b²+3=-3（b+1）（b-1），
故f（b）在（0，1）上是增函數，
在（1，3）上是減函數；
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-3，x＜-\frac{1}{2}}\\{3x-1，-\frac{1}{2}≤x＜2}\\{x+3，x≥2}\end{array}\right.$，
當x＜-$\frac{1}{2}$時，-x-3＞2，解得：x＜-5，所以x＜-5，
當-$\frac{1}{2}$≤x＜2時，3x-1＞2，解得：x＞1，所以1＜x＜2，
當x≥2時，x+3＞2，解得：x＞-1，所以x≥2，
綜上所述，不等式f（x）＞2的解集為（-∞，-5）∪（1，+∞）．

點評 本題考查了導數的綜合應用及單調性的判斷與應用，考查解絕對值不等式問題，是一道中檔題．