Question

10．已知函數$f（x）=Msin（ωx+φ）（M＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的部分圖象如圖所示．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若（2a-c）cosB=bcosC，求$f（\frac{A}{2}）$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據圖象求出A，ω 和φ，即可求函數f（x）的解析式；
（2）利用正弦定理化簡，求出B，根據三角內角定理可得A的范圍，利用函數解析式之間的關系即可得到結論

解答 解：（1）由圖象知A=1，$T=4（\frac{5π}{12}-\frac{π}{6}）=π$，∴ω=2，
∴f（x）=sin（2x+φ）
∵圖象過（$\frac{π}{6}，1$），將點$（\frac{π}{6}，1）$代入解析式得$sin（\frac{π}{3}+φ）=1$，
∵$|φ|＜\frac{π}{2}$，
∴$φ=\frac{π}{6}$
故得函數$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）$．
（2）由（2a-c）cosB=bcosC，
根據正弦定理，得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC
∴2sinAcosB=sin（B+C），
∴2sinAcosB=sinA．
∵A∈（0，π），
∴sinA≠0，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，即B=$\frac{π}{3}$
∴A+C=$\frac{2π}{3}$，即$0＜A＜\frac{2π}{3}$
那么：$f（\frac{A}{2}）=sin（A+\frac{π}{6}），0＜A＜\frac{2π}{3}，\frac{π}{6}＜A+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
$sin（A+\frac{π}{6}）∈（\frac{1}{2}，1]$
故得$f（\frac{A}{2}）∈（\frac{1}{2}，1]$．

點評 本題主要考查三角函數的圖象和性質，根據圖象求出函數的解析式是解決本題的關鍵．同時考查了正弦定理的運用化簡．利用三角函數的有界限求范圍，屬于中檔題．