Question

5．已知中心在坐標原點的橢圓C，F₁，F₂ 分別為橢圓的左、右焦點，長軸長為6，離心率為$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$
（1）求橢圓C 的標準方程；
（2）已知點P在橢圓C 上，且PF₁=4，求點P到右準線的距離．

Answer 1

分析 （1）由已知可得a，再由離心率求得c，結合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）由題意定義結合已知求得PF₂，再由橢圓的第二定義可得點P到右準線的距離．

解答 解：（1）根據題意：$\left\{\begin{array}{l}{2a=6}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}}\end{array}\right.$，解得$a=3，c=\sqrt{5}$，
∴b²=a²-c²=4，
∴橢圓C的標準方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$；
（2）由橢圓的定義得：PF₁+PF₂=6，可得PF₂=2，
設點P到右準線的距離為d，根據第二定義，得$\frac{2}p9vv5xb5=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，
解得：$d=\frac{6}{5}\sqrt{5}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了橢圓定義的應用，是基礎題．