Question

15．以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位．已知直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tsinφ}\\{y=1+tcosφ}\end{array}\right.$（t為參數，0＜φ＜π，曲線C的極坐標方程為ρcos²θ=4sinθ．
（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；
（2）設直線l與曲線C相交于A，B兩點，當φ變化時，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）把直線參數方程中的參數t消去，即可得到直線l的普通方程，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲線C的極坐標方程化直角坐標方程；
（2）將直線的參數方程代入曲線C的直角坐標方程，利用根與系數的關系結合t的幾何意義求得|AB|的最小值．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=tsinφ}\\{y=1+tcosφ}\end{array}\right.$，消去t得l的普通方程xcosφ-ysinφ+sinφ=0，
由ρsin²θ=4cosθ，得（ρsinθ）²=4ρcosθ，
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得y²=4x，
∴曲線C的直角坐標方程為x²=4y；
（2）將直線l的參數方程代入y²=4x，得t²sin²φ-4tcosφ-4=0，
設A、B兩點對應的參數分別為t₁，t₂，
則${t}_{1}+{t}_{2}=\frac{4cosφ}{si{n}^{2}φ}$，${t}_{1}{t}_{2}=\frac{-4}{si{n}^{2}φ}$．
∴|AB|=$|{t}_{1}-{t}_{2}|=\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{4}{si{n}^{2}φ}$．
當φ=$\frac{π}{2}$時，即sin²φ=1，|AB|的最小值為4．

點評 本題考查參數方程化普通方程，考查直線參數方程中參數幾何意義的應用，是基礎題．