Question

7．設p：實數x滿足x²-4ax+3a²＜0，其中a≠0，q：實數x滿足$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-6≤0}\\{{x}^{2}+2x-8＞0}\end{array}\right.$
（Ⅰ）若a=1，p∧q為真，求實數x的取值范圍；
（Ⅱ）若￢q是￢p的必要不充分條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若p∧q為真，則p真且q真，將a=1代入，分別解兩個不等式（組），再求其交集可得實數x的取值范圍；
（Ⅱ）若￢q是￢p的必要不充分條件，即q⇒p為真且p⇒q為假，進而可得實數a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由x²-4ax+3a²＜0，得（x-3a）（x-a）＜0，
當a=1時，解得1＜x＜3，即p為真時實數x的取值范圍是1＜x＜3．
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-6≤0}\\{{x}^{2}+2x-8＞0}\end{array}\right.$，得2＜x≤3，即q為真時實數x的取值范圍是2＜x≤3．
若p∧q為真，則p真且q真，所以實數x的取值范圍是2＜x＜3．
（Ⅱ）￢q是￢p的必要不充分條件，即q⇒p為真且p⇒q為假，
設A={x|p（x）}，B={x|q（x）}，則B?A，
又B=（2，3]，
當a＞0時，A=（a，3a）；
a＜0時，A=（3a，a）．
所以當a＞0時，有$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3＜3a}\end{array}\right.$解得1＜a≤2；
當a＜0時，顯然A∩B=∅，不合題意．
綜上所述，實數a的取值范圍是1＜a≤2．

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，二次不等式的解法，難度中檔．