Question

19．有一塊半徑為2的半圓形鋼板，計劃裁剪成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是半圓的直徑，上底CD的端點在半圓上．
（1）若這個梯形上底為CD=2a，求它的腰長x；
（2）求出這個梯形的周長y關于腰長x的函數解析式，并指出它的定義域；
（3）求這個梯形周長的最大值，并求出當它最大時，梯形的面積S．

Answer 1

分析 （1）由題意利用等腰梯形、圓、勾股定理列出方程，能求出它的腰長．
（2）由腰長得$2a=\frac{{4-{x^2}}}{2}$，由此能求出求出這個梯形的周長y關于腰長x的函數解析式，并指出它的定義域．
（3）由二次函數性質能求出結果．

解答 解：（1）∵2²-a²=x²-（2-a）²
∴x²=8-4a，
∴它的腰長$x=\sqrt{8-4a}$…（4分）
（2）由（1）知：$2a=\frac{{4-{x^2}}}{2}$，
∴$y=2x+\frac{{4-{x^2}}}{2}+4=-\frac{1}{2}{x^2}+x+6$，
∵$a＞0∴x＜2\sqrt{2}$，∴定義域為$（0，2\sqrt{2}）$…（8分）
（3）由（2）知，x=1時，y最大
此時梯形的上底$2a=\frac{7}{2}$，高$h=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，
∴$S=\frac{1}{2}（\frac{7}{2}+4）•\frac{{\sqrt{15}}}{4}=\frac{{15\sqrt{15}}}{16}$．

點評 本題考查函數在生產生活中的實際應用，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用．